戴德金

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尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind ,1831—1916)又译狄德金,最伟大的德国数学家、理论家和教育家,近代抽象数学的先驱。据《辞海》,戴德金还是格丁根大学哲学博士、柏林科学院院士。

人物生平

  1831年10月6日生于德国下萨克森州东部城市不伦瑞克一知识分子家庭。父亲为法学教授,母亲亦出身于知识分子家庭。早年在不伦瑞克大学预科学习化学和物理。

  1848年入卡罗莱纳学院攻力学、微积分、代数分析、解析几何和自然科学。

  1850年转入哥廷根大学新办的数学和物理学研习班,从数学家C.F.高斯研究最小二乘法和高等测量学,从斯特恩攻数论基础,从韦伯攻物理,并选修过天文学。

  1852年以题为《关于欧拉积分的理论》一论文获得哲学博士学位。毕业后留校任代课讲师。

  1855年高斯去世后,戴德金在格丁根大学又先后听过狄利克雷教授的数论、位势理论、定积分和偏微分方程,以及波恩哈德·黎曼教授的阿贝尔函数和椭圆函数等课程,进而萌生了借助于算术性质来重新定义无理数的想法。

  1856年起,他开始讲授伽罗瓦理论,成为教坛上最早涉足这一领域的学者。

  1858-1862年在苏黎世综合工业学院任教授。此间主要进行实数理论基础的研究。

  1862-1912年任不伦瑞克高等技术学校教授,在那发展了有理数和无理数可以构成一个(无空隙的)实数的连续系统,前提是实数和直线上的点有着一对应的关系。并先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。

  1888年,戴德金提出了算术公理的完整系统,其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式,把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外,他还研究了结构理论的基础,使之成为现代代数的中心分支之一。现今数学上的许多命题和术语,如环、场、结构、截面、函数、定理、互换原理等,都是与他的名字联系在一起的。他于1916年2月12日在不伦瑞克去世。尽管他的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识,但仍然影响着现代数学的发展。

成就及荣誉

  戴德金的主要成就是在代数理论方面。他研究过任意域、环、群、结构及模等问题,并在授课时率先引入了环(域)的概念,并给理想子环下了一般定义,提出了能和自己的真子集建立一对应的集合是无穷集的思想。在研究理想子环理论过程中,他将序集(置换群)的概念用抽象群的概念来取代,并且用一种比较普通的公式(戴德金分割概念)表示出来,比康托尔的公式要简化得多,并直接影响了后来皮亚诺的自然数公理的诞生。是最早对实数理论提出了许多论据的数学家之一。 

  戴德金在数学上有很多新发现。不少概念和定理以他的名字命名。他的主要贡献有以下两个方面:在实数和连续性理论方面,他提出“戴德金分割”,给出了无理数及连续性的纯算术的定义。1872年,他的《连续性与无理数》出版,使他与G.康托尔、K.魏尔斯特拉斯等一起成为现代实数理论的奠基人。在代数数论方面,他建立了现代代数数和代数数域的理论,将E.E.库默尔的理想数加以推广,引出了现代的“理想”概念,并得到了代数整数环上理想的唯一分解定理。今天把满足理想唯一分解条件的整环称为“戴德金整环”。他在数论上的贡献对19世纪数学产生了深刻影响。

主要著作

  《连续性与无理数》、《整代数的理论》、《数论讲义》、《数是什么?数应当是什么?》和《数学论文集》等。

分割

  假设给定某种方法,把所有的有理数分为两个集合,A和B, A中的每一个元素都小于B中的每一个元素,任何一种分类方法称为有理数的一个分割。

  对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:

  A有一个最大元素a,B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数,B是所有>1的有理数。 B有一个最小元素b,A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数。B是所有≥1的有理数。 A没有最大元素,B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数,零和平方小于2的正有理数,B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数,因为平方等于2的数不是有理数。注::A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中,与A和B的并集是所有的有理数矛盾。

  第3种情况,戴德金称这个分割为定义了一个无理数,或者简单的说这个分割是一个无理数。

  前面2种情况中,分割是有理数。

  这样,所有可能的分割构成了数轴上的每一个点,既有有理数,又有无理数,统称实数。

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